水金币2

杨淼淼

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杨淼淼

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杨淼淼

% 1. 构造函数与插值节点
f = @(x) sin(x);  % 选择正弦函数（周期性，外插误差更明显）
x_nodes = [0, pi/2, pi, 3*pi/2];  % 节点覆盖内插和外插区间
y_nodes = f(x_nodes);

% 2. 拉格朗日插值函数
function y_val = lagrange_interp(x_nodes, y_nodes, x_val)
    n = length(x_nodes);
    y_val = 0;
    for i = 1:n
        l = 1;
        for j = 1:n
            if j ~= i
                l = l * (x_val-x_nodes(j)) / (x_nodes(i)-x_nodes(j));
            end
        end
        y_val = y_val + y_nodes(i) * l;
    end
end

% 3. 内插计算（区间[0, π]中点 x=π/4）
x_inner = pi/4;
y_inner_interp = lagrange_interp(x_nodes, y_nodes, x_inner);
y_inner_true = f(x_inner);
error_inner = abs(y_inner_interp-y_inner_true);

% 4. 外插计算（区间外 x=5π/4）
x_outer = 5*pi/4;
y_outer_interp = lagrange_interp(x_nodes, y_nodes, x_outer);
y_outer_true = f(x_outer);
error_outer = abs(y_outer_interp-y_outer_true);

% 5. 输出结果
fprintf('=== 内插分析（x=π/4） ===\n');
fprintf('插值值：%.4f\n真实值：%.4f\n误差：%.4f\n\n', ...
    y_inner_interp, y_inner_true, error_inner);

fprintf('=== 外插分析（x=5π/4） ===\n');
fprintf('插值值：%.4f\n真实值：%.4f\n误差：%.4f\n\n', ...
    y_outer_interp, y_outer_true, error_outer);

fprintf('结论：内插在节点区间内精度高，外插因缺乏节点约束误差显著；拉格朗日插值形式简洁，但高次插值易出现龙格现象。\n');